Costelas de Arco: Forças e Momentos, Empuxo e Cisalhamento

Depois de ler este artigo, você aprenderá sobre: - 1. Forças e Momentos nas Costelas do Arco 2. Impulso Normal em Qualquer Seção do Arco do Arco 3. Cisalhamento Radial 4. Linhas de Influência.

Forças e Momentos no Arch Ribs:

Eu. Efeito da temperatura:

Um arco com duas dobradiças e um arco amarrado são mostrados na Fig. 13.8, ilustrando o efeito do aumento de temperatura nas nervuras arqueadas. Devido ao aumento de temperatura, o arco de costela ACB terá um aumento de comprimento para AC'B para o arco de duas articulações e para AC'B 'para o arco amarrado.

O efeito da temperatura no caso do arco com duas dobradiças será diferente daquele para arcos amarrados. No caso do primeiro, uma vez que não há deslocamento dos suportes, o aumento no comprimento da nervura do arco oferecerá impulso, Ht, nos suportes e a coroa do arco subirá verticalmente de C para C '.

No caso deste último, no entanto, o rolete tentará permitir que a extremidade livre B se mova para B 'e, como tal, tentará liberar o empuxo, mas o empate, por outro lado, tentará manter a extremidade B em posição. até que seja esticado de tal forma que a força de tração no empate seja igual ao empuxo do arco.

Esta força para arcos amarrados será menor do que para os arcos articulados, (extensão, elevação, etc., de ambos os arcos permanecendo iguais). No entanto, a tensão no empate ser pequena, a redução de H, não será muito significativa e, como tal, para todos os efeitos práticos, tanto o empate como a nervura da armação podem ser concebidos para Ht mesmo para arcos amarrados.

Se, t, é o aumento da temperatura e α, é o coeficiente de expansão, então o arco da costela ACB irá aumentar em comprimento para AC'B tal que AC'B = ACB (1 + αt). Se L é a extensão do arco, então pode ser provado que o suporte B, se estiver livre para se mover devido ao efeito de temperatura, irá para B 'horizontalmente de tal forma que BB' = Lαt.

Isto é, impedindo o movimento de B, a expansão horizontal do arco impedida é Lαt.

Se H _t é o empuxo horizontal devido à prevenção da expansão do arco, o momento fletor em um elemento do arco a uma altura y do salto é dado por:

M = H _t y (13, 35)

Sabe-se que o aumento horizontal no vão δL de um arco devido ao momento fletor é dado por:

A seção transversal e como tal os momentos de inércia de uma seção de arco varia do máximo em abutments ao mínimo em coroa. Para fins de projeto, o momento de inércia de qualquer seção x pode ser tomado como I = I _C sec θ onde I _C é o momento de inércia da seção da coroa e θ é a inclinação da arcada.

Substituindo ds = dx sec θ e I = I _c Sec θ, a equação 13.37 torna-se:

Encolhimento e fluxo de plástico de concreto encurta a nervura do arco e, como tal, H torna-se um puxão sobre os abutments. A queda de temperatura também causará um puxão e, portanto, o efeito da queda de temperatura também será devidamente considerado juntamente com o encolhimento e o fluxo de plástico do concreto para atender às piores condições.

ii. Encurtamento do Arco:

Devido ao encurtamento do arco, parte da força horizontal causada pela carga externa é reduzida.

A força horizontal devido ao carregamento externo é dada por:

O valor reduzido de H devido ao carregamento externo, incluindo o efeito de encurtamento do arco, pode ser dado pela seguinte expressão:

Onde M1 = momento final B em qualquer seção devido a cargas externas, o arco sendo considerado como feixe simplesmente suportado.

A = Área de seção transversal da aresta em qualquer ponto.

E = Módulo de Young de concreto arqueado.

Quando E é constante para o mesmo arco e ds = dx seg θ A = Ac Sec θ (aprox.) E I = I _C seg θ, a equação 13.41 torna-se:

Se H _a é conhecido, momento M _a, em qualquer seção do arco devido a carga externa incluindo o efeito de encurtamento do arco pode ser avaliado a partir da expressão dada abaixo:

M _a = (M ₁ - H _a y) (13, 43)

iii. Encolhimento e Fluxo Plástico do Betão:

O efeito do encolhimento da nervura do arco é semelhante àquele devido à queda de temperatura. A tensão de contração, Cs, pode, portanto, substituir a tensão de temperatura, na equação 13.39, para obter a força de atrito H devido ao encolhimento.

Quanto ao efeito do fluxo plástico do concreto, o valor de E pode ser modificado para metade do valor instantâneo ao determinar as forças e os momentos.

Examinando as expressões 13.39, 13.40, 13.42 e 13.44 para a avaliação das forças horizontais, pode-se notar que apenas a temperatura e o encolhimento são afetados pelo fluxo de plástico do concreto, uma vez que as expressões referentes a esses efeitos contêm apenas o termo E.

Exemplo Ilustrativo 1:

Um arco parabólico de duas articulações de 40m de extensão é carregado com uma carga de 120 KN em cada quarto ponto (Fig. 13.9). O aumento do arco é de 5m. O momento de inércia da aresta varia conforme a secante da inclinação do arco. Encontre as forças e momentos considerando o efeito da variação de temperatura, encurtamento do arco, encolhimento e fluxo de plástico do concreto.

Dado:

a = 11, 7 x 10 ^- ⁶ por grau centígrado, C _s = 4 x 10 ^- ⁴, E = 31, 2 x 10 ⁴ Kg / cm2, t = 18 ºC, A _c = bxd = 30 x 150 cm = 4500 cm ², I _C = 8, 5 x 10 ⁶ cm ⁴ .

Solução:

Da equação 13.10, a equação de uma armação do arco parabólico é:

Integração do numerador:

Integração do denominador:

Momentos de flexão para cargas externas e impulsos horizontais:

y para C = x / 80 (40 - x) = 10/80 (40 - 10) = 3, 75 m; y em D = 5, 0 m

. ^. . Momento em A = Momento em B = 0 (já que o arco é articulado em A e B)

Momento em C = Momento em E = (M - Hy) = (V _A x - Hy) = 180 x 10 - 455 x 3, 75 = 93, 75 KNm

Momento em D = V _A x - 120 (x - 10) - Hy = 180 x 20 - 120 (20 - 10) - 455 x 5 = 125 KNm

Efeito da temperatura:

A variação da temperatura do efeito é tomada como 2/3 da variação real da temperatura,

Encurtamento do Arco:

Da equação 13.42, o valor de H incluindo o efeito de encurtamento do arco é dado por:

Efeito da contração:

Coeficiente de contração, C _s = 4 x 10 ^- ⁴

Se a nervura do arco for concretada em seções para reduzir o encolhimento, esse valor pode ser considerado como 50% de C _s, ou seja, 2 x 10 ^- ⁴ .

Efeito do fluxo de plástico:

O valor de E pode ser considerado como metade, enquanto se estima a temperatura e o efeito de contração. Portanto, os valores de Ht e Hs podem ser reduzidos em 50 por cento considerando o fluxo de plástico do concreto da aresta.

Resumo dos Resultados:

(a) H devido a cargas externas = 455 KN (Thrust)

(b) H considerando _um encurtamento do arco = 448, 6 KN (Thrust)

(d) H _s devido a encolhimento, incluindo fluxo de plástico = 50% de 39, 0 = (-) 19, 5 KN (puxar)

. ^. . H máximo = 448, 6 + 13, 7 - 19, 5 = 442, 8 KN (empuxo)

Mínimo H = 448, 6 - 13, 7 - 19, 5 = 415, 4 KN (impulso)

Momento de Design na costela em várias seções:

Momentos de flexão em várias seções do arco são mostrados na Fig. 13.10. Pode-se notar que o impulso horizontal induzido na nervura da proa reduziu os momentos de flexão livre em quase 87%.

Impulso Normal em Qualquer Seção do Arco Rib:

Para o projeto de qualquer seção da nervura do arco, a magnitude do momento fletor e o impulso normal devem ser conhecidos. Os momentos de flexão para cargas mortas e outros efeitos, como temperatura, encurtamento do arco, encolhimento, fluxo de plástico, etc. podem ser obtidos conforme descrito anteriormente.

Os momentos de flexão para cargas vivas podem ser obtidos pelo uso de linhas de influência. Portanto, a fim de obter todas as forças e momentos de projeto para cada seção crítica do arco, não apenas os momentos de flexão, mas também os impulsos e as tesouras devem ser conhecidos.

O procedimento é agora explicado. O empuxo normal para qualquer seção X da nervura em arco a uma distância x de A e submetido ao empuxo horizontal, H e empuxo vertical, V é dado por P _x = H cos θ + V sen θ.

Se houver uma carga em movimento W atuando no arco, então o impulso normal em uma seção X (a uma distância x de A) é dado por:

(a) Quando a carga W está dentro de A a X:

P _X = H _Um cosθ + V _A sinθ - W sinθ

= H _A cosθ - (W - V _A ) sen θ = H _A cos θ - V _B sen θ (13.47)

(b) Quando a carga está entre X e B:

P _X = H _Um cosθ + V _A sinθ (13.48)

Cisalhamento Radial em Arch Rib:

Para o projeto de qualquer seção, os valores de momento fletor, cisalhamento e impulso normal devem ser conhecidos. O método de determinação do momento fletor e impulso normal. Neste artigo, a avaliação do cisalhamento radial é explicada.

Como no empuxo normal, se a carga móvel W estiver entre A e X, o cisalhamento radial S _X em uma seção será dado por:

Linhas de influência para o Arch Rib:

Nos artigos anteriores, foi discutido o procedimento para determinação de momentos, empuxo e cisalhamento para qualquer seção para cargas estáticas. No caso de pontes, os veículos que a ponte tem que carregar não são estáticos, mas móveis e, portanto, a avaliação do momento, do impulso e do cisalhamento deve ser feita com a ajuda de linhas de influência. Método de desenho de linhas de influência para dois arcos parabólicos articulados.

Linhas de influência para arcos parabólicos de duas articulações:

Linhas de influência para o empuxo horizontal nos pilares:

O empuxo horizontal em um arco de duas articulações carregando uma carga concentrada unitária em P a uma distância de 'a' da origem é dado por,

O diagrama completo da linha de influência para o empuxo, H é mostrado na Fig. 13.12b. O coeficiente para ordenadas do diagrama de linhas de influência para vários valores de 'a' é dado na Tabela 13.1.

Nota:

(a) As ordenadas do diagrama de IL = coeficiente x L / r.

(b) O impulso devido a uma carga concentrada W = ordenada x W.

Diagrama da linha de influência do momento de flexão em uma seção X:

O diagrama da linha de influência do momento em X (diagrama generalizado) é mostrado na Fig. 13.13a e o mesmo em x = 0.25L e x = 0.5L (ie na coroa) são mostrados na Fig. 13.13b, os coeficientes para ordenadas para momentos em várias seções (por exemplo, x = 0, 0, 1L, 0, 2L etc.) para várias posições de carga (por exemplo, a = 0, 0, 1L, 0, 2L etc.) são mostrados na Tabela 13.2.

As ordenadas do diagrama de linhas de influência devem ser obtidas multiplicando os coeficientes por L. O momento M _X para uma carga concentrada W = coeficiente x WL.

Diagrama de linha de influência para empuxo normal na seção X:

O empuxo normal em qualquer seção X é obtido usando-se a equação 13.47 ou 13.48, ou seja, P _X = H _A cos θ - V _B sin θ ou H _A cos θ + V _A sinθ dependendo se a carga está à esquerda ou à direita da seção X respectivamente.

As linhas de influência para V _A sin θ e VB sin θ são duas linhas paralelas com ordenadas extremas iguais a sin θ, pois V _A ou V _B para unidade de carga em movimento nas extremidades se torna unidade. A linha de influência para H cos θ é cos θ vezes a linha de influência para H como obtida anteriormente. O diagrama da linha de influência para P _X é mostrado na Fig. 13.14a.

Diagrama de linha de influência para o cisalhamento radial em X:

O cisalhamento radial em X é dado pela equação S _X = H _A senθ + VB cosθ ou H _A senθ - V _A cosθ dependendo se a carga unitária está à esquerda ou à direita da seção X.

As linhas de influência para V _A cosθ e V _B cosθ são duas linhas paralelas com ordenadas extremas iguais a cosθ com carga móvel unitária. A linha de influência para H sinθ é sinθ vezes a linha de influência para H como obtida anteriormente. O diagrama da linha de influência final para cisalhamento radial em X é mostrado na Fig. 13.14b.

Diagrama de linhas de influência para arcos de três articulações e arcos fixos:

Os diagramas de linha de influência para impulsos em abutments, momentos, impulsos normais e cisalhamento radial em uma seção X para três arcos articulados e arcos fixos podem ser desenhados dentro da mesma maneira como explicado no caso de arcos de duas articulações.

Entretanto, para pronta referência, os diagramas de linha de influência para o empuxo horizontal, H e para momento na seção X para um arco parabólico de três articulações são mostrados na Fig. 13.15 e aqueles para um arco parabólico fixo são mostrados na Fig. 13.16.

Os diagramas de linha de influência para momentos nas seções x = 0, 2L e x = 0, 4L para arco com três articulações e nas seções x = 0, 2L e x = 0, 5L para arcos parabólicos fixos são mostrados nas Figuras 13.17a e 13.17b, respectivamente. Os coeficientes para ordenadas para empuxo, H e momentos em várias seções para arcos parabólicos com três articulações e fixos são dados na Tabela 13.3, 13.4, 13.5 e 13.6.

Nota:

(a) A ordenada do diagrama de linhas de influência = coeficiente x L / r.

(b) O impulso devido a uma carga concentrada, W = ordenada x W.

Nota:

(a) A ordenada do diagrama IL = coeficiente x L / r.

(b) O empuxo, H para um ponto de carga, W = co-eff. x WL / r = ordenada x W.

O uso dos coeficientes da Linha de Influência na avaliação de Impulso e Momentos com Cargas Estáticas:

Os diagramas de linha de influência são usados para a avaliação do máximo impulso horizontal, momento, etc. para cargas móveis. Estes diagramas e tabelas de linhas de influência também podem ser usados para a determinação de empuxo, momento, etc. para qualquer carga estática também.

Exemplo Ilustrativo 2:

Avalie o impulso e os momentos para o arco parabólico como dado é o Exemplo Ilustrativo 13.2 e Fig. 13.9, pelo uso de diagramas de linha de influência e coeficientes.

Solução:

Na Tabela 13.1, os coeficientes para empuxo para carga unitária em 0, 25L, 0, 5L e 0, 75L são 0, 1392, 0, 1953 e 0, 1392, respectivamente.

Empuxo conforme determinado anteriormente = 455 KN. Assim, o valor obtido pelo uso dos coeficientes da linha de influência está de acordo com o valor anterior calculado pelo uso de fórmulas.

Os coeficientes para momentos em C (x = 0, 25L), D (x = 0, 5L) e E (x = 0, 75L) para cargas em C (a = 0, 25L), D (a = 0, 5L) e E (a = 0.75L) são como abaixo:

Coeficientes em C ou E (ie em 0.25L ou 0.75L):

Coeficientes em D (ieat 0.5L):

Portanto, os valores obtidos pelo uso do coeficiente de linha de influência concordam com aqueles usando a fórmula. A pequena variação é devida aos coeficientes aproximados (até três locais de decimais) usados na tabela. Embora aproximado, o método pelo uso de coeficientes de linha de influência é muito rápido e, como tal, tem alguma vantagem sobre o método usado anteriormente.