O Teorema de Euler e o Problema de Esgotamento do Produto

O Teorema de Euler e o Problema de Exaustão do Produto!

Assim que se propôs que os fatores de produção fossem pagos de maneira igual aos seus produtos marginais, surgiu um problema difícil, sobre o qual houve um sério debate entre os famosos economistas. O difícil problema que se coloca é que, se todos os fatores recebessem recompensas iguais aos seus produtos marginais, o produto total seria exatamente exaurido?

Em outras palavras, se cada fator é recompensado igual ao seu produto marginal, o produto total deve ser descartado sem qualquer superávit ou déficit. O problema de provar que a produção total será apenas exaurida se todos os fatores forem pagos com recompensas iguais aos seus produtos marginais foi chamado de “Problema de Adição” ou Problema de Esgotamento do Produto.

As duas soluções para o problema do esgotamento do produto foram apresentadas. Primeiro, uma solução importante foi apresentada por PH Wicksteed, que assumiu a operação de retornos constantes de escala na produção (isto é, a função de produção homogênea de primeiro grau) e aplicou a teoria de Euler para provar o problema do esgotamento do produto.

A segunda solução importante foi fornecida por JR Hicks e RA. Samuleson que usou o modelo de concorrência perfeita de determinação de preços de produto e fator para provar o problema de exaustão do produto. Discutimos abaixo estas soluções do problema de exaustão do produto.

Solução de Wicksteed do Problema de Exaustão do Produto com o Teorema de Euler:

Philip Wicksteed foi um dos primeiros economistas que apresentou este problema e forneceu uma solução para isso. Wicksteed aplicou uma proposição matemática chamada Teorema de Euler para provar que o produto total será exaurido apenas se todos os fatores forem pagos igual aos seus produtos marginais.

Deixe Q representar a produção total do produto, a representa o fator trabalho e b representa o fator capital e c significa terra. Assumindo que existem apenas três fatores empregados para a produção. Então, o problema da soma implica que,

Q = MPa xa + MPa Xb + MPc xc

Ou seja, o produto marginal do fator a multiplicado pela quantidade de fator a mais o produto marginal do fator b multiplicado pela quantidade de fator b mais o produto marginal do fator c multiplicado pela quantidade de fator c é igual ao produto total do fator empresa. Os produtos marginais de vários fatores podem ser expressos como derivadas parciais. Assim, o produto marginal do trabalho (isto é, o fator a) pode ser expresso como ∂W / ∂a, e o produto marginal do capital (fator b) como ∂W / ∂b, e o produto marginal da terra (fator c) como ∂W / ∂c, então para que o problema de soma (isto é, problema de exaustão do produto) seja cumprido, a seguinte equação deve ser válida:

Agora, o Teorema de Euler afirma que se a função de produção é uma função homogênea do primeiro grau, isto é, se em Q = f (a, b, c) para qualquer aumento nas variáveis ​​a, b e c pela quantidade n, o a saída Q também aumenta em n, então Q será igual à soma total das derivadas parciais da função de produção em relação a vários fatores multiplicados pelas quantidades dos fatores respectivamente.

A função homogênea do primeiro grau ou função linear homogênea é escrita da seguinte forma:

nQ = f (na, nb, nc)

Agora, segundo o teorema de Euler, para essa função homogênea linear:

Assim, se a função de produção é homogênea do primeiro grau, então, segundo o teorema de Euler, o produto total é:

Onde Q representa o produto total e ∂W / ∂a, ∂W / ∂b, ∂W / ∂c são derivadas parciais da função de produção e, portanto, representam os produtos marginais de trabalho, capital e terra, respectivamente. Segue-se, portanto, que se a função de produção é homogênea de primeiro grau (isto é, onde há retornos constantes de escala), então, segundo o Teorema de Euler, se os vários fatores a, b e c recebem recompensas iguais aos seus produtos marginais, o produto total será apenas exaurido, sem superávit ou déficit.

Vemos assim que o Teorema de Euler é capaz de explicar o esgotamento do produto quando a função de produção é homogênea de primeiro grau. Desta forma, Wicksteed assumindo retornos constantes de escala e aplicando o Teorema de Euler, provou o problema da soma, isto é, demonstrou que, se todos os fatores são pagos igual aos seus produtos marginais, o produto total será exatamente exaurido.

Uma crítica do teorema de Euler e da solução de Wicksteed:

A solução de Wicksteed foi criticada por Walras, Barone, Edgeworth e Pareto. Foi afirmado por esses escritores que a função de produção não era homogênea do primeiro grau, isto é; retorna a escala não são constantes no mundo real. Assim, Edgeworth comentou satiricamente sobre a solução de Wicksteed: “Há uma magnificência nessa generalização que lembra a juventude da filosofia. A justiça é um cubo perfeito, disse o sábio antigo; e a conduta racional é uma função homogênea, acrescenta o moderno savant ”.

Os críticos apontaram que a função de produção é tal que produz uma curva de custo médio de longo prazo em forma de U. A forma em U da curva de custo médio de longo prazo implica que até um ponto retornam retornos crescentes à escala e depois que os retornos decrescentes em escala são obtidos.

No caso de uma empresa ainda estar trabalhando sob retornos crescentes de escala, se todos os fatores forem pagos igual aos seus produtos marginais, as recompensas do fator total excederão o produto total. Por outro lado, se uma empresa está trabalhando sob retornos decrescentes de escala, e se todos os fatores são pagos igual aos seus produtos marginais, as recompensas do fator total não esgotariam totalmente o produto total e, portanto, deixariam um excedente. Segue-se que o Teorema de Euler não se aplica e, portanto, o problema de soma não vale quando há retornos crescentes de escala ou retornos decrescentes de escala.

Outra desvantagem apontada na solução de Wicksteed é que quando há retornos constantes de escala, a curva de custo médio de longo prazo da empresa é uma linha reta horizontal que é incompatível com a concorrência perfeita. (Sob a curva de custo médio de longo prazo horizontal, a empresa não pode ter uma posição de equilíbrio determinada). Mas a concorrência perfeita era essencial para a teoria da produtividade marginal e, portanto, para a solução de Wicksteed. Assim, a solução de Wicksteed nos leva a duas coisas contraditórias.

Solução de esgotamento de produção de Wicksell, Walras e Barone:

Depois que Wicksteed, Wicksell, Walras e Barone, cada um independentemente, avançaram uma solução mais satisfatória para o problema que as recompensas de fatores marginalmente determinadas esgotariam o produto total. Esses autores assumiram que a função típica de produção não era homogênea de primeiro grau, mas era tal que produziu a curva de custo médio de longo prazo em forma de U.

Eles apontaram que, no longo prazo, sob concorrência perfeita, a empresa estava em equilíbrio no ponto mínimo da curva de custo médio de longo prazo. No ponto mínimo da curva de custo médio de longo prazo, os retornos à sc são momentaneamente constantes, isto é, os retornos à escala são constantes dentro da faixa de pequenas variações de saída.

Assim, a condição necessária para que as recompensas determinadas marginalmente esgotem o produto total, isto é, a operação de retornos constantes de escala, foi cumprida no ponto mínimo da curva de custo médio de longo prazo, onde uma empresa perfeitamente competitiva está em longo prazo equilíbrio. Assim, no caso do equilíbrio perfeitamente de longo prazo, o Teorema de Euler pode ser aplicado e, se os fatores receberem recompensas iguais aos seus produtos marginais, o produto total ficaria exatamente exaurido.

Solução de Hicks-Samuelson para o problema do esgotamento do produto :

Depois de Wicksell, Walras e Barone, JR Hicks e PA Samuelson forneceram soluções mais satisfatórias para o problema do problema de exaustão do produto. O ponto básico a ser observado em sua solução é que são as condições de mercado de competição perfeita com sua importante característica de lucro econômico zero no longo prazo e não a função de produção de primeiro grau homogêneo que garante que se os fatores receberem recompensas iguais às suas produtos marginais, valor total do produto seria apenas esgotado.

Em uma estrutura de mercado perfeitamente competitiva, as empresas não obtêm lucro econômico nem perdas. Assim, a solução do problema do esgotamento do produto no caso de as firmas trabalharem em mercados de fatores competitivos onde os fatores são pagos igual aos seus produtos marginais, a existência de concorrência perfeita nos mercados de produtos garantirá lucros econômicos nulos a longo prazo. Considere a Figura 32.15 onde uma empresa perfeitamente competitiva está em equilíbrio de longo prazo no ponto mínimo da curva de custo médio de longo prazo LAC produzindo o nível de produção de OQ no preço OP.

O valor total do produto produzido pela empresa neste equilíbrio de longo prazo é igual à área OPEQ. Como o preço OP é igual ao custo médio (AC) nesta saída de equilíbrio de longo prazo com lucros puros zero, o produto de valor total (PQ) será igual ao custo total (TC). portanto

No equilíbrio competitivo de longo prazo:

Produto com Valor Total (PQ) = w.L + Kr… (1)

Agora, a teoria da produtividade marginal da distribuição requer que

w = VMP L = P.MPP L … (2)

r = VMP K = P. MPP K … (3)

Onde w e r são os preços de mão de obra e de capital, respectivamente, e MPP L e MPP K são produtos físicos marginais de mão-de-obra e de capital, respectivamente, e P é o preço do produto.

Substituindo os valores de w e r na equação (1), temos

PQ = L. (P. MPP L ) + K. (P. MPP K )

Dividindo ambos os lados por P temos

Q = L.MPP L + K. MPP K

Isto é, se a mão-de-obra e o capital forem pagos igual aos seus produtos físicos marginais, a produção total será apenas esgotada.

É importante notar que, em contraste com as soluções de Wicksteed e Wicksell, Walras e Barone, a solução fornecida por Hicks e Samuelson prova o teorema da exaustão do produto sem assumir retornos constantes de escala (ie função de produção homogênea de primeiro grau) e sem usar o teorema de Euler. Eles provam isso apenas assumindo condições de estrutura de mercado perfeita.

O mérito da solução Hicks-Samuleson é que ela se destaca quando as condições de mercado competitivo perfeito não se sustentam, isto é, quando há monopólio ou concorrência imperfeita no mercado do produto ou monopsônio ou concorrência imperfeita no mercado de fatores, os fatores contratados não obtenham recompensas iguais ao valor de seus produtos marginais e, portanto, são exploradas pelos empreendedores que podem desfrutar de grandes lucros econômicos.